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Masse de Jupiter

Calcul de la masse de Jupiter

    
On se propose de déterminer la masse de Jupiter en étudiant le mouvement de ses principaux satellites : Io, Europe, Ganymède et Callisto.
Le mouvement d'un satellite, de masse m est étudié dans un référentiel considéré comme galiléen, ayant son origine au centre de Jupiter et ses axes dirigés vers des étoiles lointaines, considérées comme fixes. On supposera que Jupiter et ses satellites ont une répartition de masse à symétrie sphérique. Le satellite se déplace sur une orbite circulaire, à la distance R du centre de Jupiter :
- Déterminer la nature du mouvement d'un satellite autour de Jupiter.
- Déterminer la vitesse v d'un satellite en fonction de R, de M, masse de Jupiter et de G, constante de gravitation universelle.
- En déduire l'expression de la période de révolution T du satellite.
- Montrer que le rapport T2/ R3 est constant.

Les périodes de révolution et les rayons des orbites des quatre principaux satellites de Jupiteront été déterminés et ont les valeurs suivantes :

 IoEuropeGanymèdeCallisto
T(en heures)42,585,2171,7400,5
R(en km)4,22 1056,71 1051,07 1061,883 106

- Représenter sur papier millimétré le graphe donnant les variations de T² en fonction de R3. Conclure.
- En reliant ces résultats à ceux obtenus ci-dessus, déterminer la masse M de Jupiter.
donnée : G = 6,67 fois 10-11N.m2.kg-2.

Corrigé

Le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète

masse de Jupiter

dans la base de Frenet : suivant l'axe n = GMm /R² = mv²/ (R+h) d'où la vitesse : v² =GM / R
suivant l'axe t : dv/dt = 0 d'où norme de la vitesse constante et mouvement uniforme.
la circonférence du cercle 2πR est parcourue à la vitesse v pendant la durée T (période 2πR =vT)
élever au carré et remplacer v² par son expression 4²R²= GM / R T²
soit T²/ R3 = 4²/(GM)(3ème loi de Kepler).

T² en fonction de (R+h) au cube donne une droite dont le coefficient directeur est 4pi²/GM

 IoEuropeGanymèdeCallisto
T(en secondes)1,53 1053,07 1056,18 1051,44 106
R(en m) 4,22 1086,71 1081,07 1091,883 109
T² en s²2,34 10109,42 10103,81 10112,07 1012
R3 en m37,51 10253 10261,22 10276,64 1027
T² / R33,1 10-163,14 10-163,12 10-163,2 10-16


T² / R3 est à peu près constant et égal à : 3,15 10-16. 
La 3ème loi de Kepler est bien vérifiée.

masse de Jupiter

Masse de Jupiter : T² / R3 = 4²/(GM)(3ème loi de Kepler).
M = 4p² / ( 3,15 10-16 * 6,67 10-11) = 1,87 * 1027 kg.

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