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Primeira medição da distância Terra-Sol

Tamanho relativo do sistema solar

   Categoria: Terra
Actualização 26 de outubro de 2021

No início do século 17, os cientistas não tinham ideia das dimensões do sistema solar. No entanto, graças às leis de Johannes Kepler (1571−1630), sabemos as distâncias relativas dos cinco planetas da época em comparação com o sol. Em outras palavras, sabemos as distâncias em uma unidade desconhecida, a distância Terra-Sol, mas não sabemos a distância Terra-Sol em km.
A 3ª lei de Johannes Kepler, formulada em 1618, mostra a relação entre o semi-eixo maior da órbita de um planeta e seu período de rotação em torno do Sol (tabela ao lado). O cubo do semieixo maior é igual ao quadrado do período de rotação (T2/R3=k) que posiciona a órbita de Mercúrio a 0,39 UA (unidade astronômica criada muito mais tarde em 1958) e a de Saturno a 9,55 unidades astronômicas do sol.
A medição de uma única distância (planeta-Sol) dará a escala de todo o sistema e, portanto, a distância Terra-Sol em km, conforme esperado pelos astrônomos.

 nota: Leis de Kepler
A primeira lei de Kepler, "lei das órbitas" (publicada em 1609 em Astronomia nova), estipula que todos os corpos em órbita descrevem trajetórias elípticas, das quais o Sol ocupa um dos focos.
A segunda lei de Kepler, "lei das áreas" (publicada em 1609 na Astronomia nova), afirma que áreas iguais são atravessadas em tempos iguais.
A terceira lei de Kepler, "a lei dos períodos" (publicada em 1619 na Harmonices Mundi), afirma que o quadrado do período sideral de um planeta (tempo entre duas passagens sucessivas na frente de uma estrela) é diretamente proporcional ao cubo da semi-eixo maior da trajetória elíptica do planeta.

Em 1687, Isaac Newton descobriu a lei da gravitação que lhe permitiu explicar as três leis de Kepler.

 3ª lei de Kepler

Imagem: T2 / R3 = k
A expressão teórica de k será conhecida em 1687 graças às equações da gravitação universal formuladas por Isaac Newton (1643−1727).

Medição da distância Terra-Marte

    

Por mais paradoxal que possa parecer, é medindo a distância Terra-Marte que os astrônomos e matemáticos do século 17 foram capazes de ter uma ideia das dimensões do sistema solar.
Naquela época, a observação era resumida principalmente pela medição dos ângulos de objetos celestes vistos da Terra. Então, são os cálculos da trigonometria que fornecem as distâncias.
Como a distância Terra-Marte foi calculada pela primeira vez?
Em setembro de 1672, Jean-Dominique Cassini (1625−1712), Jean Picard disse l'Abbé Picard (1620−1682) e Jean Richer (1630−1696) mediram a paralaxe horizontal de Marte quando este planeta passou mais próximo da Terra (Marte é então, visto da Terra, em frente ao Sol). Para realizar esta medição, é necessário observar as posições de Marte em relação às estrelas muito mais distantes de dois pontos muito distantes.
Cassini de Paris e Richer de Cayenne medem a paralaxe de Marte. Esta medição em relação à base formada pelo raio equatorial da Terra dá uma paralaxe horizontal de p=24" ⇒ Terra-Marte = 54 746 000 km.
Para determinar a paralaxe de Marte a partir de observações feitas em Paris e Caiena, é necessário saber com a máxima precisão a diferença entre as latitudes e a diferença entre as longitudes de Paris e Caiena.

 

A latitude (veja a nota) é fácil de medir, mas a longitude (veja a nota) é muito mais difícil na época.
Cassini especifica, no entanto, que mediu a longitude por vários métodos para obter uma média:
- A observação de um eclipse cujas várias fases são identificadas em horas do meridiano de Paris, nas coleções astronômicas.
- A observação de eclipses dos satélites galileanos de Júpiter que ocorrem várias vezes ao dia.
- A observação das alturas dos meridianos do Sol.
O total dá uma média de 3 h 39 min ± 10 min.
Richer e Cassini, portanto, observam o planeta Marte durante o mês de setembro de 1672. Marte passará perto de uma estrela de Aquário (Ψ Aquarii). Na imagem ao lado, o ponto C' corresponde à latitude de C (Caiena) e à longitude de P (Paris). Cassini usa duas observações simultâneas de Marte, uma de P e outra de C'. O ângulo de Paris Caiena de Marte é o ângulo α=14". Mas a paralaxe de Marte é o ângulo no qual Marte vê o raio da Terra. O cálculo da proporcionalidade entre o ângulo de Paris Caiena e a paralaxe de Marte dá 24" ± 5 "
Uma vez que a paralaxe de Marte é conhecida, a trigonometria torna possível obter a distância Terra-Marte (D) de acordo com o raio (R) da Terra:
D = R×3600/24×180/π de onde 8600 R
D = 8600 * 6371 = 54 790 600 km

 Paralaxe de Marte

Imagem: As medições da Cassini possibilitaram medir o ângulo α. Dois observadores são colocados em dois pontos suficientemente distantes na Terra (Paris e Caiena, por exemplo) e observam a configuração das estrelas ao redor da estrela observada. Eles podem medir os ângulos dos pontos de observação e então deduzir a paralaxe α (em radianos) e a distância Terra-Marte.

nota: Latitude é a posição norte ou sul de um ponto na Terra, ou seja, é o ângulo com o plano equatorial (de 0° no equador a 90° no pólo norte e -90° no pólo sul).

nota: Longitude é a posição Leste-Oeste de um ponto na Terra, que corresponde a uma diferença de tempo com o plano do meridiano de Greenwich (meridiano principal, 0° de longitude). Este deslocamento varia de + 180° oeste a -180° leste).

Cálculo da distância Terra-Sol

    

Qual é a distância Terra-Sol?
Assim que a distância Terra-Marte foi conhecida, a distância Terra-Sol pôde ser calculada usando a terceira lei de Kepler.
Cassini sabia que Marte estava a 0,38 UA = 3/8 UA. Terra-Sol = 8/3 x 8600 R = 23000 R ± 5000 raios terrestres.
Cassini nos dá o valor do raio terrestre em léguas: R = 1.500 léguas.
Na época, havia um grande número de definições da liga dependendo da região.
Suponhamos que o raio terrestre seja dado em liga do abade Picard que a partir de 1671 é igual a 3707 metros.
R = 1500 x 3.707 = 5.560,5 km de onde:
Terra-Sol = 127 891 500 km a ± 27 802 500 km
Este resultado notável constitui a primeira medição da distância Terra-Sol.
Graças à terceira lei de Kepler, esta distância dará a escala de todo o sistema solar T2/R3=k (tabela acima).

 

Image : calcul des distances grâce aux orbites de la Terre et de Mars
C = centre de l'ellipse représentant l'orbite de Mars
Demi-grand axe de l'orbite de Mars = C → Mars
Excentricité de l'orbite de Mars = CS / CM = 0.093
CM = CS + ST + TM
CM = TM + ST / 1-CS
TM = 54 790 600 km
PT (période de la Terre) = 1 an (365 jours)
PM (période de Mars) = 1,88 an (686 jours)
⇒ TS = TM / 1-CS(PM/PT)2/3 -1
1-CS(PM/PT)2/3 -1 = 0.38 soit 3/8
⇒ TS = 54 790 600 x 8/3 = 150 000 000 km

 Cálculo da distância Terra-Marte
 
           
   
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